Tomorrow's Mathematics Gallery

１、２章で閉体とは限らない体上での代数幾何入門をする。一般の体上での楕円曲線の定義（種数１の非特異代数曲線で固定点を持つもの)、からワイエルシュトラウス方程式と同型であることを導くために,一般の体上でのリーマンロッホ の定理までハーツホーン に一部委ねながら準備している。代数曲線の圏と関数体の圏の間の圏同値のところはこの本で今後重要になる部分であり、純非分離拡大というと学部３年生くらいまで難しいイメージだったが正標数の体上の楕円曲線の文脈で、K(C)/K(C)^qという形で自然に現れるのが興味深かった。これに対応する楕円曲線の射が、純非分離射であり、後にp倍写像が純非分離であるような楕円曲線をsupersingularと呼ぶが、重要な楕円曲線のクラスとなる。３章で、閉体とは限らない体上で「種数１で固定点を持つ代数曲線→Weierstrass方程式で定義される代数曲線と同型」を示す時に lemma5.8.1を使う。どういうことかというと、L(6(O))という \bar{K}上のベクトル空間に対して、\bar{K} \otimes_K L(6(O))はL(６(O))と\bar{K}上のベクトル空間の同型になり、つまり閉体上基底を取れたのが、うまいことK上の基底に取り替えれるのである。「うまいこと」というのはこの同型で取り替えるということだが、そもそもこの同型はヒルベルト定理90から存在がわかる行列の列を並べた基底を採用すれば良いことがわかる(演習問題)。なお、lemma5.8.1はここだけではなく１０章のp３２０、step(ⅱ)でも使う。

​​

​​３章から楕円曲線に入る。種数１の固定点を持つ非特異曲線という定義から、リーマンロッホ を使って楕円曲線のWeierstrass方程式が出てきたり、EとPic0(E)の同型から楕円曲線に群構造が入るのに感動した。Weill-pairingは暗号理論への応用だけでなく、Local Tate dualityの構成などにおいても非常に重要である。**Tate加群、weil-pairingについては後日加筆する。

​​

４章で形式群が導入される。p進体上の楕円曲線を還元するときに、そのKernelには形式群が整数環の極大イデアルに誘導する群が現れるため、6章に備えてここで準備している。E:y^2＋a1xy＋a3y^3＝x^3＋a2x^2＋a4x＋a6でz＝-x/y,w＝1/zと置換して、アフィンの原点に群の単位元が来るようにする（変換後も非特異性、種数、固定点が保たれるので楕円曲線のまま)。変換後の楕円曲線の群演算後のz座標によって楕円曲線に付随する形式群を定義する。交点を計算する時にωをzの冪級数で表しておくことが必要だが、その時にヘンゼルの補題を使う。Z[a1,a2,・・・,a6][[z]]は局所環とは限らず、ヘンゼルの補題もそれに応じて一般の完備の環の場合で準備しないことに注意する。楕円曲線に付随する形式群を定義した後、形式群の一般論が述べられる。形式群という（群）対象があるなら、その間の射は冪級数である。冪級数を準同型と呼ぶことに最初は慣れないかもしれないが、m倍写像と形式群に付随するlogは特に重要である。

　形式群に付随するlogは、身近な例で言えば、p進対数関数にその原型がある。例えば、p進対数関数がpZpとZp×の間に同型を与えているのは、形式群に付随するlogがZpの極大であるpZpに誘導する群の同型と解釈できる。logは局所体の議論でも重要だが、本書の主題である楕円曲線においては、楕円曲線の形式群に付随するlogが重要である。任意の形式群は形式加法群Ga^とlogという準同型を通して同型になる(!)が、この形式群の同型は、logが収束するとは限らないので、局所体の整数環の極大イデアルに群の同型を誘導するとは限らない。nが十分大きければ、極大イデアルのn乗とF(m^n)の間に群の同型を誘導する。この章での準備は７章：局所体上の楕円曲線のところで多用される。

​

最後に少し上級の話をする. vを代数体Kの有限素点とし, OをK_vの整数環とする. さらに, \phi: E\to E’をisogenyとする. なんと,  E(K_v)/\phi(E(K_v))の位数(局所Kummer mapのimageの位数)は実はTamagawa数で記述できる. 十分大きなlに対してE_l(K_v)を\hat{E}(O^l)で定義する. この時, フィルとレーションE_l(K_v)\subset ... \subset E_1(K_v)\subset E_0(K_v)≠subset E(K_v)があり, i\ge 1においてE_i(K_v)/E_{i+1}(K_v)は剰余体上の1次元ベクトル空間であり, 位数はちょうど剰余体の位数である. そうするとsnake lemmaからE_l(K_v)/\phi E_l(K_v)の計算に帰着する. これはE_l(K_v)上のHaar測度をE_l(K_v)\cong Oという位相群の同型を用いて定めることで, \phiは\hat{E}(O)\to \hat{E’}(O),  z \mapsto az+…と形式群上の射を誘導する. Neron modelの普遍性から, aはO^\timesの元として書けることがわかる. このaのv進付値ほとんど全て(v(\phiの次数)=0以外)で1になり、局所Kummer mapのImageの位数はTamagawa数で書けることがわかる. これは, Selmer群とそのdualの位数の比を局所Kummer mapの積で書く公式(CasselsもしくはGreenberg—Wiles)と合わせることで, Selmer群の比がTamagawa数の積で書けることを保証する. 

​​

​

５章からは基礎体を色々動かして楕円曲線論を論じる。まずは５章、有限体から。

古典的な不等式｜E(Fq)-(q＋1)｜≦2√qの証明から入り、この不等式もweil予想という大きな結果から従うことを確認する。３章までで準備したTate加群の性質を使って楕円曲線の場合にweil予想を証明する。途中に、閉体上のSupersingularな楕円曲線を特徴付け、その同型類の個数を微分方程式を用いて決定するという興味深いパートもある。Supesingularな楕円曲線(p倍写像が純非分離)は、j(E)∈F_p^2という性質を持つ（Theorem3.2で、（ⅲ）のj(E)∈F_p^2は()の中に入れても良いことに注意)ので、閉体上の楕円曲線の同型類はj-invariantで分類されることから、F_pの閉体上、supersingularな楕円曲線の同型類は有限個しかない。さらに、igusa polynomialを使って、その個数がきっちり求まるというのである。​​｜E(Fq)-(q＋1)｜≦2√qの証明では、「絶対ガロア群Gal(Fq-/Fq)が楕円曲線に作用していて、q乗フロベニウスでEの元が動かない時、Gの作用でEの元が動かないこと」がポイント。絶対ガロア群は巡回群の意味ではFrqで生成されていないが、位相的には生成されている(〈Frq〉のクルル位相の意味での閉包が絶対ガロア群に一致する)ので、そこから従う。これは、位相群の練習問題としてとても良い。

​

​

６章は複素数体上の楕円曲線。楕円の周りの長さを求める積分から楕円曲線が歴史的には生じたこと(楕円と楕円曲線は決して無関係ではない！)、ペー函数、σ関数の定義と性質などが論じられた後、「複素トーラスとC上の楕円曲線が群かつリーマン面として(!)同型である」・・・(🍩)という主定理を証明する。楕円曲線の複素トーラスは、楕円積分(多価関数√の入った積分！）の被積分関数をwell definedにするための場であり、P1に（多価性を排除するため）2つの切り込みを入れて貼り合わせたものがトーラスである。

(🍩)の写像はφ：zmodL→[\wp(z):\wp(z):1], 0modL→[0:1:0]で与えられるが、この写像が全単射群準同型、正則同型であることを示す。σ関数の擬周期性を利用して群準同型であることを示す。リーマン面として逆も正則写像であることをAECでは、φが全単射かつ余接空間に誘導する写像が線形同型であることから示している(梅村先生の「楕円関数論」でもAECのと同じ議論)。あるいは「全単射正則写像の逆写像が正則であること」がわかればいいので、この証明はリーマン面の一般論でいくつかの方法（局所的にはCの逆関数定理に他ならない,あるいはフォルスターのリーマン面などに載っている分岐指数を使った方法)を認めればそれでもいいように思う。Tate加群が1次コホモロジーH_1(E(C),Z_p)と同型であることも面白かった。これの証明には、一般に（コ)ホモロジーの係数環を変更する方法である普遍係数定理を用いた。数ヶ月前に松村の自主ゼミでTorとかを勉強した後だったので使えて嬉しかった。φの逆写像も実は明示的に積分を用いて与えられる。

​​

７章は局所体上の楕円曲線である。（１次元）局所体は、離散付値について完備かつ剰余体kが有限な体と定義される。しかしこの章では、剰余体が有限との仮定は特には使わない。というのも、この章における主眼は完備離散付値体に対して玉河数[E(K):E_0(K)]の有限性である。特にKがQpの最大不分岐拡大である時が重要であり、この場合剰余体はもちろん有限ではない。この有限性を使って、Neron Ogg Shafarevichの判定法という、Tate加群への惰性群の作用で還元の様子を調べるという定理が示される。​玉河数の有限性については、Neron model（SpecR上の群スキームでEをgeneric fiberに持ち、Neron Mapping Propertyという普遍性を満たすもの）を用いた証明が知られている。この本の続編であるAAECの範囲ではあるが、セミナーではNeron modelを使った証明を行った。体を上げるとgood reductionであるときにpotentially good であるというが, 命題 5.5では「j(E)がintegralであること⇔potentially good」を示す. ⇨のポイントはルジャンドル型y^2=x(x-1)(x-λ)になるような体に持ち上げることである. するとj-invariant : 整の条件から, λはintegralになり判別式16λ^2(λ-1)^2がmod kで0でないこともわかる. 

Isogenyなときgood reductionが保たれるという主張(系7.2)はAAECの中でOggの公式のfがisogeny不変であるというAAECの演習4.40で拡張される. 

８章は代数体上の楕円曲線である。モーデルヴェイユの定理の証明に主眼がある。モーデルヴェイユ定理の証明は、E(K)/2E(K)の有限性（弱いモーデルヴェイユの定理）と高さ関数を定義するパートに別れる。難しいのは弱いモーデルヴェイユの定理の方で、K([m]^-1E(K))/K(たとえばE:y^2＝x^3-7x/Qなら、rankE＝0であり、E(Q)＝0を認めるとQ([2]^-1E(Q)＝Q(E［2］)＝Q(√7)のような拡大であるが、Eのランクが１以上だと、有限個の代数的な元の添加とはいかない)が有限次拡大であることの証明に帰着することが群のコホモロジーの理論からわかる。この体拡大はexponent mのアーベル拡大であり、Kが十分に1の冪根を含めばいわゆるKummer拡大である。１の冪根を全て含むようにKを拡大して示して良いことがわかるのでKummer理論から、その有限性が示される。この有限性の証明において、S単数のSを有限を保ったまま十分大きくすればPIDにできる、という主張がかなり本質的であり、S単数のイデアル類群＝イデアル類群/〈Sの付値に対応する素イデアルたち〉という関係を初等的に示すか、幾何学的に見てイデアル類群の有限性を認めればイデアル類群を因子類群と考えるとわかりやすい。​一般の基礎体Kに対してE(K)/mE(K)が有限だからと言って、E(K)が有限生成とは限らない。実際、素数pに対してE(Qp)/2E(Qp)は有限群だが、E(Qp)は有限生成ではない(Mattuckの定理 (https://www.jstor.org/stable/2007101)によると、E(Qp)はZpと有限群の直和に同型だから)。アーベル群E(K)に対して高さ関数が定義できるときは、E(K)/mE(K)が有限ならE(K)が有限生成であることも言える。E(Q)に対して高さ関数を定義することで、Mordell--weilの定理の証明を完了する。

​

​

１０章では、モーデルヴェイユランクの具体的な計算と、局所大域原理について触れられている。​局所大域原理について：genus０の場合や、genus１の場合でも楕円曲線の場合は（固定点があるので）局所大域原理が成り立つ。しかし、genus1の代数曲線で固定点がないもの（これは必ず楕円曲線のtorsorになることが知られている。演習問題10.3を参照。)については、局所大域原理が満たされないことがある。この満たされなさ具合を測る群として、Tate shafarevich群が導入される。「局所大域原理の満たされなさ度合いを測る」というのは、正確には、「山(E/K)＝{e}とE/Kの任意のtorsorは局所大域原理を満たすことが同値」という主張を指している。この主張を理解するためには、ガロアコホモロジー的な理解だけではだめで、torsrorの商集合であるWeil chatlet群とガロアコホモロジーの関係、つまりWC(E/K)とH1(G_K,E)が同型であることを理解しなくてはならない。Torsrorは楕円曲線Eのtwist(閉体まで持ち上げれば同型になる曲線)の一種であり、Twist(C/K)とH1(G_K,Isom(C))の間に全単射があることが重要である。与えられたtwistに対応するガロアコホモロジーのコサイクルが存在する部分が非自明であるが、この全射性から、Weil chatlet群とガロアコホモロジーの同型の全射性も示される。なお、先生から指摘を頂いたのだが、このヴェイユシャトレ―群と１次ガロアコホモロジーの同型は、Eを任意の代数群にも置き換えても成り立つ(ただしその場合H^1は群ではなく点付き空間としての同型である)。Weilの「Galois cohomology｣に​記述がある｡