​明日の数学Gallery

もし数学の運転免許学科試験があったら

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次の文章が数学的に正しいときは○、誤っているときは×を記入せよ。​​

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1.有限個の指数有限の部分群の共通部分は、指数有限の部分群である。

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2. Aを環、MをA加群とする。Aのジャコブソン根基Jに含まれるあるイデアルIについて、IM＝Mが成り立つならば、M＝０である。

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3. 群コホモロジーは群である。

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4. 複素数体上の楕円曲線とトーラスの同型E(ℂ)≃ℂ/Λは群かつベクトル空間としての同型である。

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1.○ 2.× (A＝ℤp, M＝ℚpなど、中山の補題では有限生成の仮定を外すと反例がある)３.△(作用される群が非可換な場合は群構造が入らない。たとえばℤ/2ℤがS_3に自明に作用するときH^1(ℤ/2ℤ, S_3)はf_1: 1\to (12), f_2: 1\to (13)の積で閉じていないので群になっていない。)

4. ×(群かつリーマン面としての同型であって、ベクトル空間としての同型ではない。実際、ℂ/Λは有限位数の非自明な元を持ち、ベクトル空間にならない。同様に円を角度の和でアーベル群とみなしても、ベクトル空間の構造を入れることはできない。)