​明日の数学Gallery

もし数学の運転免許学科試験があったら

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次の文章が数学的に正しいときは○、誤っているときは×を記入せよ。​​

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1(5点). 代数群Gの単位元を含む連結成分は, Gの指数有限の正規部分群である.

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2(5点). 有理数体上の楕円曲線が素数pにおいてgood reductionを持つならそれとrational-isogenousな楕円曲線もpにおいてgood reductionを持つ.

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3(5点). 群コホモロジーは群である。

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4(5点). Isogenousな楕円曲線のregulatorは一致する。

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5(2点×3問).

  (1)Kodaira symbolは楕円曲線のNeron minimal modelの$\bar{F}_p$上のspecial fiberのスキームとしての同型類を分類している記号である。

  (2)I_0^*型においてNeron modelのcomponent群\tilde{ε}(F_p)/\tilde{ε}_0は位数4の元を持つ. 

  (3)Kodaira記号が同じ楕円曲線は同じTamagawa数を持つ. 

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​解説 : 

1.○ 「具体例1」のコーナーの「玉河数はNeron modelのspecial fiberの連結成分の個数」を参照. 2.○ : Neron Ogg Shafarevichの判定法. ３.△(作用される群が非可換な場合は群構造が入らない。たとえばℤ/2ℤがS_3に自明に作用するときH^1(ℤ/2ℤ, S_3)はf_1: 1\to (12), f_2: 1\to (13)の積で閉じていないので群になっていない。)

4.(1) × 5. I_0以外なら正しい. 教習所らしいひっかけ問題。(2)× 持たない。このことはKlagsbrunの論文でも初等的な応用がある. これによってSelmer群のトーサーは4次式だがHilbert記号だけでsolvilityの判定が実質的にできることがわかる! (3)Kodaira記号は\bar{F_p}上の幾何を分類するものである一方., Tamagawa数はF_p上の数論的量でありI_0, II, II^*以外では一般に異なる.