遊び | 明日の数学gallery

もし数学の運転免許学科試験があったら

次の文章が数学的に正しいときは○、誤っているときは×を記入せよ。

1. 代数群Gの単位元を含む連結成分は, Gの指数有限の正規部分群である.

2. 有理数体上の楕円曲線が素数pにおいてgood reductionを持つならそれとrational-isogenousな楕円曲線もpにおいてgood reductionを持つ.

3. 代数体Kのヒルベルト類体で完全分解するKの整数環の素イデアルの全体は, Kの整数環の単項素イデアルの全体に一致する。

4. Isogenousな楕円曲線のregulatorは一致する。

(1)Kodaira symbolは楕円曲線のNeron minimal modelの$\bar{F}_p$上のspecial fiberのスキームとしての同型類を分類している記号である。

(2)I_0^*型においてNeron modelのcomponent群\tilde{ε}(F_p)/\tilde{ε}_0は位数4の元を持つ.

(3)Kodaira記号が同じ楕円曲線は同じTamagawa数を持つ.

(4)楕円曲線のreductionがgood, split multiplicative, non-split multiplicative, additive reductionであることはisogenyで保たれる.

(5)奇素数pでIII^*型の還元を持つQ上の楕円曲線をpと素なDで2次ツイストした楕円曲線E^D/QはpでIII^*型である.

(6)Q上の楕円曲線E/Qが奇素数pでI_0^*型の還元を持つ時, 2次拡大をうまく選べばgood reductionにできる.

pを楕円曲線E/Qのgood primeとする. H^1(Q_p, E)はEが作用するp進体上のトーサーが必ず有理点を持つことから0である.

7. E/QをQ上の楕円曲線とする。E/Qが2でgood reductionを持つとき, (D,2Δ_E)=1となるsquare-freeな整数Dによる2次ツイストE^D/Qは2において良い還元を持つ. ここで, Δ_EはE/Qの最小判別式のこととする.

8. Q上の楕円曲線E/Qに対し, 2次拡大体Q(\sqrt{D})に持ち上げると同型になる楕円曲線E^D/QをE/Qの2次ツイストという. E/QのWeierstrass方程式をy^2=f(x)と書くとき, square-freeな整数Dを用いてE^D: Dy^2=f(x)とかける.

9. アーベル群A上の非退化なpairingはA[2]に制限しても非退化である.

10. 楕円曲線のTate--Shafarevich群は有限性を仮定しなくても捩れ群であることがわかり, 全ての素数lに対するl^{\infty}-partが同型ならTate--Shafarevich群は同型である.

11. lを素数とする. 次数lのisogenyをQ上持たないという関係は, isogeny不変である.

12. Q上の2つの固定した楕円曲線の間には, 互いに素な次数のisogenyは存在しない.

13. lを素数とする. 楕円曲線E/Qと平方自由な整数Dについて, E^D(Q)[l]に位数lの点があることは2次元表現E[l]がDによる2次指標を含むことと同値である. しかし, 直和に分解している必要はない.

14. 群の位数, 全ての元の位数が互いに等しい群は, 必ず同型である。

解説 :

1.○ 「具体例1」のコーナーの「玉河数はNeron modelのspecial fiberの連結成分の個数」を参照. 2.○ : Neron Ogg Shafarevichの判定法. ３. ○

4.(1) × 5. I_0以外なら正しい. 教習所らしいひっかけ問題。(2)× 持たない。このことはKlagsbrunの論文のLemma 2.6も初等的な応用がある. つまり, ramified twist Dをv: good reductionのところで施すと, E_1^D(Q_v)には位数4以上の元が存在しない! このときvでKodaira symbolはI_o^*であり, この問題の答えから, 位数4の元はない. そうすると0\to E_1^D(Q_v)\to E_0^D(Q_v)\to F_v \to 0という完全列からE_0にも位数4がないことになり結論を得る.

これによってSelmer群のトーサーは4次式だがHilbert記号だけでsolvilityの判定が実質的にできることがわかる! (3)Kodaira記号は\bar{F_p}上の幾何を分類するものである一方., Tamagawa数はF_p上の数論的量でありI_0, II, II^*以外では一般に異なる. (4)○ こちらを参照 (5)○ こちらを参照

(6)2次ツイストでI_0にでき, 対応する2次拡大でgoodになる.

6. × 確かにF_p上genus 1 curveは必ず点があり, それがpがgoodならHensel lemmaによってQ_p上に持ち上がる. しかし, 楕円曲線のgood primeはその作用するトーサーのgood primeとは限らない. 実際, n\ge 1に対してH^1(Q_p, E)[n]はE(Q_p)/nE(Q_p)の双対(Tate-local duality)であり, 非自明である. 7.

7. ×　E が 2 で good でも，二次ツイストでは (T_\ell(E^D)\cong T_\ell(E)\otimes\chi_D)（(\ell\neq2)）となる。もし (\mathbb Q(\sqrt D)/\mathbb Q) で 2 が分岐すると (\chi_D|*{G*{\mathbb Q_2}}) は分岐し，(T_\ell(E)) は不分岐でも (T_\ell(E^D)) は分岐する。よって Néron–Ogg–Shafarevich 判定法より (E^D) は 2 で good reduction を持てない。したがって ((D,2\Delta_E)=1)（= (D) が奇数）だけでは不十分で，(D\equiv3\pmod4) などでは反例が生じる。8. × dy^2=f(x)で書けるものは確かに2次ツイストだが, 2次ツイストがこの形で書けるとは限らない. j-invariantが0, 1728のときに例外が生じる. 9. × 楕円曲線のTate--Shafarevich群のCassels--Tate pairingにおいて, \Sha(E/Q)\times \Sha(E/Q)\to Q/Zの\Sha(E/Q)[2]への制限は退化し, 各termのKerは2\Sha(E/Q)となる. 10. ○ 11. ○ 12. ○ 13. ○ 14. (Z/3Z)^3とF_3上のHeisenberg groupは同型ではないが, 同じ群の位数と全ての元について同じ元の位数を持つ.

PPAP ?

ピコ太郎からの出題：ヒルベルト記号(p,pa)_pを計算せよ。ただしpは素数、aはZpの単数とする。 (答)p≡1mod4のとき　(a/p) p≡3mod4のとき-(a/p) (「数学のpdf」のコーナーの「フルシュテンベルグ位相とZの副有限完備化の関係」の§３の１「ヒルベルト記号」を参照