Perfectoid体Kというのは、①完備で、②値群がRの中で稠密、③O_K/pO__K上でp乗写像が全射　という３つの条件を満たす時に言う。正標数の場合は、完備な完全体と言っても同じことである(O_K/pO_K＝O_Kであり、しかも値群が稠密もO_K^p＝O_Kから直ちに出てくる（離散付値は正で最小の付値を持つ元xがあると特徴付けられるので、x＝y^pなるy∈Kがあると最小性に矛盾)。正標数のperectoid体と標数０のperfectoid体を結びつけるtilting対応(♭を取る操作と♯を取る操作が互いに逆写像になっている)と言うものがある。これをGal(K1^♭/K^♭)とGal(K^1/K)と同型というガロアコホモロジーを用いて得られる結果を合わせることによって、Perfectoid体の有限次拡大はPerfectoid体であることが示せる(Galois representation and (φ,Γ)modules  p74参照)。これのdirect limit(体なので合併)を取ることで、代数拡大の場合にも、perfectoidの代数拡大がperfecoidであることは確かめられる。

本例の体は２つの代表的な(値群を同じくする)perftoid体の合併の完備化である。片方の体上合併は代数的だから、Perfectoidである。

これを直接確かめるなら、条件③について、整数環の剰余環を有限次拡大の場合のdirect unionで書いてしまって、有限次の場合に帰着させてしまうのが良いだろう。 なお、直接整数環を計算しようとなると分岐指数などもわからないので難しいと思う。

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